由于素数只能被 1 和它本身整除,那么任何素数组成的集合就属于一种特殊的原始集。

原始集这个概念是由匈牙利数学家 Paul Erd s 在 1930 年代提出的,最早只是用于证明起源于古希腊的完美数。

比如你无法确定原始集到底有多少种组合,就比如在 1-1000 这些数中,占去一半数量的 501-1000,拿出其中任意几个数字都可以构成一个原始集,因为它们都无法被互相整除。

不过虽然无法确定组合有多大,但 Paul Erd s 发现对于任何原始集(包括无限集),它的 Erd s 和 都有上界,即小于或等于某个数字。

就是对集合中的每个数字 n 求表达式 1/ ( n log n ) 的和,用公式表达就是这样:

前面说到,Erd s 和 是有界的,但我们都没法知道最大的集合长什么样,这个界又何以知晓呢?

尽管如此,1988 年,Erd s 还是给出了一个值,它推测这个界为某个素数组成的原始集的和,为1.64。

这个猜想也把素数再次推上了 特立独行 的 风口浪尖 (这也就是标题里所说的 一个素数猜想 的具体含义了)。

他回忆称,自己一下子就被这个猜想迷住了: 这么奇怪的推测怎么会是真的呢,太不可思议了吧?

谁能想到,2018 年,他和他在达特茅斯学院的导师 Carl Pomerance还真先一起侧面证明了原始集的 Erd s 和 不会大于 1.78 左右的猜想。

这个猜想是美国数学家弗兰兹 · 梅尔滕斯(Franz Mertens)提出来的。

他们算出这个常数的办法是先写下原始集中每个数字的倍数,然后将每个序列中这些倍数进行分解,出现了比当前原始数的最大质因数还要小的因数,就要丢掉。

假如原始集为 {2, 3, 5},那么 2 的最大质因数是 2,3 的最大质因数是 3,5 的最大质因数是 5。

所有 2 的倍数全部合格,因为它们都是 2 的公倍数,没有超过 2 的质因数 2;

所有 3 的倍数中,只要是素数 2 的公倍数(因为没有超过质因数 3),都要被扔掉,也就是 6、12、18 都不合格;

所有 5 的倍数中,只要是素数 2 和 3 的公倍数 ( 因为没有超过质因数 5 ) ,也要被 pass,因此 10、15、20、30 不合格;

再比如 55 的倍数中,只要是素数 2、3、5、7 的公倍数,也要被 pass,因为 55 的最大质因数为 11。

牛津小哥将这种方法比作字典的索引方式,只不过字典是按字母,这是按素数来组织每个序列。

得到新的集合后,他和导师又开始算这些倍数序列的 密度 。就拿所有偶数来说,它的序列 密度 就是为 1/2,因为所有偶数占所有整数的一半。

然后啊,他们就观察到,如果给定的一个集合是原始集,那么所有倍数序列就不会重叠(overlap),因为他们的组合 密度最多为 1。

有了 密度 ,就可以算集合的 Erd s 和 了,根据弗兰兹 · 梅尔滕斯提出的定理,一个大约等于 1.78 的特殊常数乘以集合倍数的组合 密度 ,就可以得出原始集的最大 Erd s 和 。

由于小哥和导师证明集合的 密度 最大为 1,也就从侧面证明了 Erd s 和 的最大值为 1.78。

小哥在牛津大学的导师对此赞赏有加,称小哥和原导师的方法其实是 Paul Erd s 最初方法的一种变体,但它更巧妙,得到了一个 not-tight 和 not-too-bad 的上界。

与此同时,大家认为他们的这个方法似乎已经是目前最顶尖的数学家才可以做到的。

好,成功了一小步,接下来如何才能把范围缩小,证明 Erd s 给出的 1.64 呢?

小哥发现,他和前导师的那一套理论对于质因数较小的数字组成的原始集是有效的,可以比较轻松地就证明出来甚至比 1.64 还小的常数。

左思右想,转眼到了博士三年级,他发现可以给集合中的每个数字关联不止一个倍数序列。

比如对于 618 这个数字(2 × 3 × 103)来说,按照以前的方法不可以出现比 103 倍还小的倍数,但现在可以用比 103 倍还小的倍数组成序列,比如 5 倍。

最终,他仔细考虑了原始集的各种情况,在具有最大质因数和最小质因的数字之间找到了一个平衡,将 2018 年和现在的两部分证明拼凑在一起,最终证明了 Erd s 和 小于 1.64。

前后一共花了四年的小哥表示,得出这个结果不知道是运气好碰上了还是啥,总之做到了。

有数学家指出,牛津小哥这个证明结果真的太引人注目了,因为他的方法非常聪明,完全依赖于已有论点就做到了。

就比如有网友通过小哥的个人主页扒到他列出的最近出版物,发现从 2018 年到现在一共有至少 18 篇。

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